Кажется у меня получилось, но всё совершенно по-другому.
Я гуманитарий, решаю на пальцах, объяснять сейчас тож так же буду))))

Итак, начнём.
Надо было изначально считать, сколько рабов, сколько бочек могут проверить. Я начала это делать в конце, но это не беда))
Итак, если во второй день остаются, то могут проверить:
1 раб - проверяет 2 бочки
2 раба - могут проверить 4 бочки
3 раба - могут проверить 8 бочек ( про девять, я опять накосячила там между 1-ым и третьим рабами))
4 раба - 16 бочек
5 рабов  - 32 бочки

Отсюда составляем разные исходы на второй день:
отставляем сразу 32 бочки. Это на случай, если никто не умрёт в первый день, то 5 выживших проверят их. Если умрут, то это неядовитые бочки, т.к. с них не пили. (остаётся 208 проверить)
В первый день ещё все 5 рабов пьёт с одной бочки, если умирают все, то это она!!! И на второй день уже ничего проверять и не надо. (208 -1=207)
Далее мы можем составить 5 комбинаций из четырёх рабов (1234, 2345, 3451, 4512, 5123) каждой из пяти комбинаций мы даём по две бочки, и если умрёт определённая четвёрка, то оставшийся один раб из двух бочек во второй день точно определит отравленную. 5 комбинаций на 2 бочки=10 бочек (207-10=197)
Далее мы можем составить 9 различных комбинаций из троек рабов (123,134,145,234,245,251,345,351,352, пардон, говорила, что не математик)) каждой определённой тройке мы можем дать по 4 бочки проверить, так как оставшиеся два живых раба точно определят из четырёх бочек одну отравленную. Итого 9 комбинаций по 4 бочки=36 бочек проверяем (197-36=161)
Далее я поправляю свою таблицу, которую, конечно , накосячила, но, сейчас я учитываю всё
              1 ст.          2ст.        3 ст.       4 ст.      5 ст.     
1 ряд      16              х              х             х            х
2 ряд     9               16             х             х             х
3 ряд     9               9            16              х            х
4 ряд     9               9            9             16             х
5 ряд     9               9            9             9            16

Да, пришлось убрать полтаблицы, я это поняла, когда стала опять считать, НО есть и радость, каждому рабу можно дать в одну харю выпить пробу с 16 бочек индивидуально, так как оставшиеся 4 смогут проверить 16 бочек умершего на следующий день с гарантией 100%. Итого по таблице мы получаем 16*5+9*10=80+90=170 бочек проверяется.
Подводим итог 170 бочек могут проверить пары рабов и единолично каждый, 36 бочек могут проверить тройки рабов, 10 бочек четвёрки рабов, 1 бочку пятёрка рабов и 32 бочки оставлены, если никто не помрёт в первый день.
170+36+10+1+32=249 бочек можно проверить.

Блииин, где я ошиблась опять? Но проверка накрывает 240 бочек однозначно! Что опять не так?

Поняла тебя, Ирин. Кажется я решила, но не знаю, нужен холодный взгляд со стороны. Или мне погулять, а потом опять посчитать.